Дельта для школьников | ЕГЭ без паники
Производная равна нулю. Это ещё не минимум
Как не угадать экстремум и не перепутать его с наименьшим значением.
Ошибка, которая повторяется
В анализе ЕГЭ-2025 ФИПИ описывает выбор одной из критических точек без исследования поведения функции. В рекомендациях 2026 года также предлагается различать критическую точку и экстремум, проверять смену знака производной и учитывать границы промежутка.
Смысл простой: уравнение f′(x) = 0 даёт кандидатов. Оно не раздаёт им автоматически роли «максимум» и «минимум». Разберём несколько собственных учебных примеров, в которых одна пропущенная проверка меняет ответ.
Кейс 1. Две точки — две разные роли
Пусть f(x) = x³ − 3x. Производная f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Она равна нулю при x = −1 и x = 1. Какой корень выбрать, если нужен минимум?
На промежутке x < −1 производная положительна. Между −1 и 1 отрицательна. При x > 1 снова положительна. Значит, в −1 функция сначала росла, потом стала убывать: это максимум. В 1 сначала убывала, потом стала расти: это минимум. Ответ на вопрос о точке минимума — 1.
Ноль производной ≠ экстремум
f(x) = x³
f′(x) = 3x² ≥ 0
Знак не меняется
Кейс 2. Ноль производной без экстремума
Теперь f(x) = x³. Производная 3x² равна нулю при x = 0. Но слева и справа от нуля она положительна. Функция продолжает возрастать и не разворачивается. Экстремума в нуле нет.
Представьте путь на велосипеде: на мгновение скорость стала нулевой, но вы не развернулись и продолжили в ту же сторону. Сама остановка не доказывает смену направления. Для функции проверяется знак производной по обе стороны, а не только её значение в одной точке.
Кейс 3. На отрезке побеждает граница
Вернёмся к f(x) = x³ − 3x, но спросим наибольшее значение на [−2; 2]. Внутри лежат обе критические точки. Нужно проверить четыре кандидата: −2, −1, 1 и 2.
Получаем f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(2) = 2. Наибольшее значение равно 2. Здесь оно достигается и во внутренней точке −1, и на правой границе 2. Если бы вопрос просил все точки достижения максимума на отрезке, одного x = −1 было бы недостаточно.
Проверяем другим взглядом
Для последнего примера можно доказать границы значений алгебраически. f(x) − 2 = (x − 2)(x + 1)² ≤ 0 при −2 ≤ x ≤ 2. Значит, f(x) ≤ 2. Аналогично f(x) + 2 = (x + 2)(x − 1)² ≥ 0, то есть f(x) ≥ −2.
Мы независимо подтвердили диапазон значений от −2 до 2. Не обязательно искать такое разложение на каждом экзамене. Здесь оно показывает, что проверка другим методом способна обнаружить ошибку, которую повторное дифференцирование не поймало бы.
Рабочая последовательность
Сначала прочитайте, что требуется: точка экстремума, значение функции или наибольшее значение на отрезке. Затем определите область допустимых значений и найдите производную. Исследуйте её нули и точки, где она не существует, если они входят в область функции.
Для локального экстремума изучите поведение рядом с кандидатом. Для непрерывной на замкнутом отрезке функции сравните значения во всех подходящих внутренних кандидатах и на концах. В ответ перенесите именно запрошенную величину. Эта последовательность надёжнее правила «берём положительный корень»: универсального правила такого рода нет.
Что делать после ошибки на пробнике
Не записывайте в журнал только «не понял производную». Уточните этап: неверно продифференцировал, нашёл не все корни, не проверил знаки, забыл границы или перепутал x и f(x). Затем решите несколько задач именно на этот переход.
Например, для смены знака сравните x², x³ и −x² около нуля. Для границ возьмите одну функцию и несколько разных отрезков. Такой разбор превращает ошибку в конкретный навык. Материал относится к математике и наблюдениям экзаменов 2025/2026; сам по себе он не утверждает сохранение прежнего номера задания в проекте-2027. Если у вас установлено приложение,
вы можете сразу перейти в канал