Хо
Хорошее образование
Понятие вектора
Вектор — это направленный отрезок. У него есть две характеристики:
- длина (её ещё называют модулем) — то есть размер отрезка;
- направление — куда этот отрезок «смотрит».
Обозначают вектор обычно буквой со стрелочкой сверху: a⃗ или двумя буквами с чертой: AB⃗ (где A — начало, B — конец).
Важно: порядок букв имеет значение — AB⃗ и BA⃗ это разные векторы (противоположно направленные).
Чем вектор отличается от просто отрезка?
Отрезок — это просто «палочка» между двумя точками, у него нет направления. А вектор — это та же палочка, но с указанием, куда она ведёт.
Поэтому вектор AB⃗ и вектор BA⃗ — это не одно и то же: у них одинаковые длины, но противоположные направления.
Длина вектора
Длина (модуль) вектора — это длина соответствующего отрезка. Обозначается |a⃗| или просто a. Длина — всегда неотрицательное число. Вектор нулевой длины называется нулевым вектором (у него направление не определено).
Равенство векторов
Два вектора считаются равными, если они:
- одинаковы по длине,
- одинаковы по направлению (сонаправлены).
При этом неважно, где они расположены на плоскости — важно только направление и длина. То есть векторы можно «переносить» параллельно самим себе, и они от этого не меняются. Это называют «векторы свободные».
Коллинеарные и сонаправленные векторы
- Коллинеарные — векторы, которые лежат на параллельных прямых (или на одной прямой). То есть они «параллельны» друг другу.
- Сонаправленные — коллинеарные векторы, смотрящие в одну сторону.
- Противоположно направленные — коллинеарные, но смотрящие в разные стороны.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Основные операции с векторами
1. Сложение. Есть два удобных правила:
- Правило треугольника: совмещаем начало второго вектора с концом первого, и вектор-сумма идёт от начала первого к концу второго.
- Правило параллелограмма: совмещаем начала векторов, достраиваем до параллелограмма, и сумма — это диагональ из общего начала.
2. Вычитание.
Разность a⃗ − b⃗ — это то же, что a⃗ + (−b⃗), где −b⃗ — вектор, противоположный b⃗ (та же длина, противоположное направление).
Умножение на число. При умножении вектора на число k:
- длина умножается на |k|;
- если k > 0 — направление сохраняется;
- если k < 0 — направление меняется на противоположное;
- если k = 0 — получается нулевой вектор.
Координаты вектора
На плоскости вектор можно задать двумя числами — его координатами. Если вектор идёт из точки A(x₁, y₁) в точку B(x₂, y₂), то его координаты:
AB⃗ = (x₂ − x₁; y₂ − y₁).
То есть «конец минус начало» по каждой координате.
Через координаты удобно считать:
- длину: корень из суммы квадратов координат;
- сложение: складываем соответствующие координаты;
- умножение на число: умножаем каждую координату на это число.
Типичные ошибки
1. Путают вектор и отрезок — забывают про направление.
2. Считают, что AB⃗ = BA⃗ — нет, они противоположны.
3. Думают, что равные векторы должны лежать в одном месте — нет, они могут быть где угодно, лишь бы длина и направление совпадали.
4. Ошибаются в координатах: надо «конец минус начало», а не наоборот.
5. Забывают про нулевой вектор — у него нет направления, но он существует.
#математика
Good Edu | Хорошее образование